Cálculo de raízes utilizando fatoração


 

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com

extraído do http://www.bancodeconcursos.com

Fatorar significa escrever um número através da multiplicação de fatores primos. Lembrando que números primos são aqueles que somente são divisíveis por 1 e ele mesmo. A fatoração de números é um processo prático muito comum em situações que envolvem cálculo de raízes, simplificação de raízes, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum.

O processo consiste em dividir um número natural pelos algarismos primos sequenciais: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 e assim sucessivamente. Os números resultantes da divisão serão os fatores primos do número. Observe como proceder na fatoração do número 1260:

 

A forma fatorada do número 1260 é: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7.

Cálculo de raízes utilizando fatoração

Determinar a raiz quadrada de um número consiste simplesmente em descobrir o número que elevado ao quadrado resulta no algarismo que está dentro da raiz. Algumas raízes são determinadas mentalmente, por exemplo:

√25 = 5, pois 5² = 25
√9 = 3, pois 3² = 9
√81 = 9, pois 9² = 81
√100 = 10, pois 10² = 100

Mas algumas raízes envolvem números grandes, e, nesse caso, buscar resultados mentais para resolução pode se tornar um processo longo e cansativo. Quando essas raízes aparecerem, utilize a fatoração e agrupe os números de acordo com o índice da raiz. Por exemplo, vamos determinar a raiz quadrada do número 484.

1º passo: fatorar o número

 

2º passo: como a raiz é quadrada, o índice da raiz é 2. Então vamos agrupar os fatores semelhantes como potências de expoente igual a 2.

484 = 2 * 2 * 11 * 11 = 2² * 11², então:
√484 = √2² * 11² = 2 * 11 = 22

A raiz quadrada do número 484 é 22, pois 22 * 22 = 484

Observe outro exemplo:

Determinar a (raiz cúbica de 27000). Seria complicado descobrir o número que elevado ao cubo resulte em 27000, por isso, vamos fatorar.

 

O índice da raiz é igual a três, então os fatores semelhantes serão agrupados três a três, se possível.
27500 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = 2³ * 3³ * 5³, então:
√27500 = √2³ * 3³ * 5³ = 2 * 3 * 5 = 30

A raiz cúbica do número 27000 é 60, pois 30 * 30 = 900.

Simplificação de raízes

Algumas raízes não possuem resultado exato, por isso devemos pelo menos utilizar a simplificação de raízes utilizando a fatoração. Por exemplo, vamos simplificar a seguinte expressão: √72 (raiz quadrada do número 72).

 

72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 2² * 2 * 3²
√72 = √2² * 2 * 3² = 2 * 3 * √2 = 6√2

Portanto, a forma fatorada de √72 é 6√2.

Veja outro exemplo:

Vamos simplificar a expressão √2205.

 

2205 = 3 * 3 * 5 * 7 * 7 = 3² * 5 * 7²
√2205 = √3² * 5 * 7² = 3 * 7 * √5 = 21√5

A forma simplificada de √2205 é 21√5.

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